Zo laat vakdidacticus Peter Kop leerlingen vriendschap sluiten met algebraïsche formules
Voor veel leerlingen zijn wiskundige formules abracadabra. Daar wil vakdidacticus en docent wiskunde Peter Kop verandering in brengen. Voor zijn promotieonderzoek bedacht hij een nieuwe lessenserie waarmee leerlingen aan de hand van tekenopdrachten meer betekenis aan formules geven. ‘Leerlingen hebben een volle trukendoos, maar weten niet wanneer ze welke truc moeten toepassen.’ Promotie op 18 oktober.
Losse trucjes
‘Tijdens het onderzoek vertelde een van mijn leerlingen dat hij eigenlijk nooit precies een beeld had bij wat hij moest doen’, vertelt Kop. ‘Bij een wiskunde-opgave zocht hij in zijn hoofd naar een trucje dat hij geleerd had en paste dat dan toe.’ In de 35 jaar die hij lesgeeft op de middelbare school, zag Kop vaker dat leerlingen losse trucjes uit hun hoofd leren, maar dat echt begrip van formules uitbleef. ‘Als tijdens een proefwerk de opgaves dan ook maar een beetje afwijken van wat zo’n leerling heeft geleerd, gaat het al fout.’
Symbol sense
In vaktermen komt dit door een gebrek aan symbol sense: een breed concept dat onder andere te maken heeft met het identificeren van de structuur van algebraïsche formules, het betekenis geven aan die formules, en met en over die formules redeneren. Kop: ‘In de les is vooral aandacht voor het oefenen en manipuleren van formules, maar te weinig aandacht voor het inzicht in deze formules. Daarom blijft het vaak bij betekenisloos rommelen. Je hebt als het ware een volle trukendoos, maar als je de verbanden niet ziet, weet je ook niet wanneer en waar je een bepaalde truc moet toepassen.’
De nieuwe technologie speelt hierbij zeker een rol. Zo deed ongeveer twintig jaar geleden de grafische rekenmachine haar intrede, waarmee je grafiekjes kunt tekenen en bewerken. Kop: ‘Ik denk dat we destijds dachten dat als iemand maar heel veel de grafische rekenmachine gebruikt en min of meer dezelfde grafiekjes tovert, er op gegeven moment wel wat blijft hangen en er enige herkenning optreedt. Maar vergelijk het met het rijden met een navigatie. Als je altijd maar je navigatie gebruikt, krijg je niet vanzelfsprekend een goed overzicht van hoe Nederland in elkaar zit. Ik denk daarom dat we naast ICT ook moeten blijven oefenen en redeneren met pen en papier.’
Grafieken tekenen
Kop bedacht een lessenserie om leerlingen meer inzicht in algebraïsche formules te geven. Deze baseerde hij op strategieën die hij afkeek bij experts: drie universitaire docenten, een docent die betrokken was bij de ontwikkeling van eindexamens en een docent die auteur is van een wiskunde-methode.
De serie bestaat uit vijf lessen waarin leerlingen aan de hand van formules grafiekjes moeten tekenen. ‘Zonder al teveel rekenwerk,’ legt Kop uit. ‘Dit doen ze door te kijken naar de structuur van de formule en hierover te redeneren. Daarbij gebruiken we een repertoire van basisfuncties die de leerlingen kunnen uitbeelden met armgebaren en die als bouwstenen kunnen dienen bij meer complexere formules.’
Pot toetste zijn leerlingen voor en na de lessen, en vier maanden later nog eens. Ook vergeleek hij zijn eigen studenten met scholieren van vijf andere scholen, die de lessen niet hadden gehad. Tijdens de toets liet hij zes leerlingen hardop nadenken. ‘We zagen niet alleen dat onze leerlingen beter scoorden, maar ook dat ze de ingrediënten uit deze lessen echt toepasten, ook in een wat bredere context.’
Onderwijsvernieuwing
Kops collega’s zijn enthousiast: twee van hen gebruiken de nieuwe lessenserie inmiddels ook. ‘We hebben het niet precies gemeten, maar ook zij boeken positieve resultaten,’ vertelt Kop. Momenteel schrijft hij op zijn school aan een nieuwe wiskundemethode. ‘Daar ga ik dit gedachtengoed natuurlijk in verwerken. Ook probeer ik elders in het land collega’s te enthousiasmeren, door presentaties op studiedagen en congressen. Deze nieuwe methode kan de symbol sense van leerlingen bevorderen en verdient daarom een prominente plaats in het wiskundeonderwijs!’