Abstracte wiskundige vergelijkingen bestuderen met concrete oppervlakken
Op 5 januari promoveert Rosa Winter in de arithmetische meetkunde. Ze onderzocht oplossingen van vergelijkingen die zogeheten ‘del Pezzo oppervlakken’ definiëren. ‘Ik vind meetkunde mooi omdat ik het voor me kan zien en kan tekenen,’ vertelt Winter. ‘Daardoor voelt abstracte wiskunde concreet.’
In de wiskunde is het soms handig om abstracte vergelijkingen te bestuderen aan de hand van meetkundige objecten, zoals cirkels, bollen, achtvlakken of zelfs hoger dimensionale voorwerpen. Het vakgebied dat zich hiermee bezighoudt heet arithmetische meetkunde. Promovenda Rosa Winter gebruikte deze variant van de meetkunde voor haar proefschrift.
‘Oppervlakken kun je tekenen’
Wiskundige vergelijkingen kunnen meetkundige objecten definiëren. Oplossingen van die vergelijkingen kun je bestuderen met die meetkunde. Als je bijvoorbeeld wilt weten welke getallen je kunt invullen zodat x^2+y^2 gelijk is aan 4, dan kun je in een grafiek met een x-as en y-as alle punten (oplossingen) tekenen waarvoor x^2+y^2=4 geldt. Dan krijg je een cirkel met straal 2, waaraan je bijvoorbeeld ziet dat het punt x=2 en y=0 een oplossing is. Je kunt ook zoeken naar specifieke oplossingen, zoals punten op de cirkel waarvoor geldt dat x en y breuken zijn (1/3e, 1/5e, maar ook, 0, 2, etc.). Die breuk-oplossingen heten rationale punten. Winter bestudeerde rationale punten op oppervlakken. ‘Oppervlakken zijn altijd tweedimensionaal, zelfs als ze bijvoorbeeld in acht dimensies leven,’ vertelt Winter. ‘Daarom kun je oppervlakken tekenen. Dat maakt het abstracte werk voor mij intuïtiever.’
Million-dollar question
Het vinden van rationale punten op meetkundige objecten is meestal niet eenvoudig. Dat blijkt bijvoorbeeld uit het zogeheten ‘Vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer’. Dit is een vooralsnog onbewezen wiskundig vermoeden dat behoort de Millenniumprijsproblemen. Voor het oplossen van elk van deze problemen looft het Amerikaanse Clay Mathematics Institute een miljoen dollar uit. Dit vermoeden gaat over rationale punten op elliptische krommen. Net als cirkels zijn elliptische krommen meetkundige objecten die gedefinieerd zijn met bepaalde vergelijkingen. Als je ze tekent zijn het een soort gekromde lijnen. Winter: ‘Zelfs op elliptische krommen, waar we best veel over weten, is het niet makkelijk om de verzameling van rationale punten te bepalen.’
Del Pezzo oppervlakken
Tijdens haar promotieonderzoek heeft Winter helaas geen miljoen binnengesleept. Ze keek niet naar rationale punten op elliptische krommen, maar op zogeheten ‘del Pezzo oppervlakken van graad 1’. Winter: ‘Dit zijn meetkundig gezien niet de moeilijkste, ingewikkeldste oppervlakken, maar toch zijn er nog wiskundige vragen over te stellen waar nog geen antwoord op gevonden is.’ Ze toonde voor een deel van deze oppervlakken-familie aan dat er oneindig veel rationale punten op liggen en dat deze niet in clusters voorkomen, maar overal verspreid te vinden zijn. Als rationale punten zichtbaar zouden zijn als rode stippen en als je over zo’n del-Pezzo-oppervlak zou kunnen lopen, dan zou je dus overal – waar je ook kijkt – rode, rationale punten zien.
Winter werkt sinds september postdoc aan het Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences in Leipzig, waar ze onder meer leert om meetkunde en abstracte wiskunde toe te passen in andere wetenschappen, zoals biologie en natuurkunde.
Tekst: Dorine Schenk