Het wiskundig bewijs van 1 miljoen
Promovendus Raymond van Bommel zette zijn tanden in één van de ingewikkeldste wiskundige problemen; de oplossing ervan is 1 miljoen dollar waard. Zover kwam Van Bommel nog niet met het computerprogramma dat hij schreef. Maar: ‘Het zou zomaar kunnen dat iemand anders door deze berekeningen weer tot een nieuw inzicht komt’. Van Bommel promoveert op 31 oktober.
Onbewezen
Het onderzoek van Van Bommel gaat over het zogenaamde vermoeden van Birch en Swinnerton – Dyer. ‘Dit vermoeden verbindt twee wiskundige fenomenen die ogenschijnlijk niets met elkaar te maken hebben’, vertelt hij. Het beschrijft een diepe wiskundige relatie tussen getaltheoretische en meetkundige eigenschappen van elliptische krommen. Met behulp van deze krommen kunnen cryptograven snel en gemakkelijk informatie versleutelen. Zij gebruiken de krommen bijvoorbeeld voor het beveiligen van mobiele telefoons.
Het vermoeden is tot stand gekomen door computerstimulaties, maar is nog nooit geheel bewezen. Het is volgens Van Bommel één van de belangrijkste vermoedens in zijn vakgebied. Als het waar is en bewezen kan worden, heeft het dan ook vele gevolgen. Bijvoorbeeld voor een beschrijving van de mogelijke zijdelengtes van een rechthoekige driehoek waarvan alle zijdelengtes gehele getallen zijn.
Toepassing
Behalve wellicht voor toekomstige toepassingen in de cryptografie is het nog lastig te zeggen waar het Birch en Swinnterton- Dyer vermoeden in later voor gebruikt kan worden. ‘Voor wiskundigen is dit vaak een lastige vraag. Dit onderzoek en veel ander onderzoek bestaat niet met het doel om directe toepassingen te verzinnen. Het doel is de ontwikkeling van algemene wiskundige theorie. De toepassingen zijn er vaak veel later pas. Een hoop nieuwe natuurkunde is bijvoorbeeld gebaseerd op wiskunde die 50, 100 of 200 jaar geleden uitgevonden is.’
Milleniumproblemen
In 2000 stelde het Clay Mathematics Institute de ‘millenniumproblemen’ op: een lijst met de zeven belangrijkste, onopgeloste problemen in de wiskunde. Voor het oplossen van elk van die problemen, looft het instituut een bedrag uit van één miljoen dollar. Van de zeven millenniumproblemen is er inmiddels één opgelost, de andere zes vraagstukken blijven tot nu toe onbeantwoord. Het Birch en Swinnterton - Dyervermoeden staat ook op deze lijst. ‘Voor het vermoeden van Birch en Swinnerton - Dyer zijn tot nu toe een aantal speciale gevallen opgelost, maar is er op dit moment geen zicht op een oplossing voor het algemene probleem’, aldus Van Bommel.
Nieuw programma
Om het vermoeden verder te ontrafelen, schreef Van Bommel een nieuw computerprogramma waarmee hij verschillende nieuwe onderdelen ervan kon testen. ‘Met mijn computerprogramma kunnen wiskundigen het vermoeden controleren voor een hele nieuwe reeks aan krommen, die een stuk gecompliceerder zijn dan de krommen waarvoor dit voorheen mogelijk was.’ Volgens Van Bommel zou het daarom zomaar kunnen dat iemand anders door deze berekeningen weer tot nieuw inzicht komt en de wiskundigen dichterbij het uiteindelijke bewijs van het vermoeden brengt. ‘In veel gevallen is het in de wiskunde zo dat het hebben van nieuwe voorbeelden weer helpt bij het bedenken van nieuwe theorie.’
Foutje, bedankt
Hoewel Van Bommel als wiskundige is opgeleid, heeft hij ook een passie voor programmeren. Zo deed hij meerdere malen succesvol mee met programmeerwedstrijden. ‘Omdat ik zelf zowel de wiskundige kennis in huis had om de achterliggende theorie goed te begrijpen en de programmeerkennis, sloot dit project heel goed aan op mijn interesses.’ De promovendus ontdekte zelfs een paar foutjes in de bestaande code: ‘Doordat ik mijn eigen programma ernaast hield, zag ik dat er waarschijnlijk iets niet klopte. Dit bleek na een vergelijking uiteindelijk ook het geval te zijn. Die fouten zijn inmiddels grotendeels verholpen.’ De miljoen dollar zijn nog niet binnen. ‘Er is voor dit vermoeden nog veel meer te berekenen en bewijzen.’
Tekst: Hilde Pracht